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  • 反比例函数教案

    分类:教学案例 时间:2017-07-24 本文已影响

    篇一:第十七章 反比例函数教案全章

    第十七章 反比例函数

    17.1.1反比例函数的意义

    一、教学目标

    1.使学生理解并掌握反比例函数的概念

    2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式

    3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想

    二、重、难点

    1.重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式

    2.难点:理解反比例函数的概念

    3.难点的突破方法:

    (1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解

    (2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式y?k,等号左边是函数y,等x

    号右边是一个分式,自变量x在分母上,且x的指数是1,分子是不为0的常数k;看自变量x的取值范围,由于x在分母上,故取x≠0的一切实数;看函数y的取值范围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y=kx(k≠0),比较二者解析式的相同点和不同点。

    (3)y?k?1(k≠0)还可以写成y?kx(k≠0)或xy=k(k≠0)的形式 x

    三、课堂引入

    1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?

    2.体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的?

    四、例习题分析

    例1.见教材P47

    分析:因为y是x的反比例函数,所以先设y?

    常数k,即利用了待定系数法确定函数解析式。

    例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数

    (1)y?

    (6)y?k,再把x=2和y=6代入上式求出xx532(2)y?? (3)xy=21(4)y? (5)y?? 3x?22xx1?3(7)y=x-4 x

    k(k为常数,k≠0)x

    1?3x的形式,这里(1)、(7)是整式,(4)的分母不是只单独含x,(6)改写后是y?,x分析:根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成y?

    分子不是常数,只有(2)、(3)、(5)能写成定义的形式

    例2.(补充)当m取什么值时,函数y?(m?2)x

    分析:反比例函数y?3?m2是反比例函数? k?1(k≠0)的另一种表达式是y?kx(k≠0),后一种写法x

    中x的次数是-1,因此m的取值必须满足两个条件,即m-2≠0且3-m2=-1,特别注意不要遗漏k≠0这一条件,也要防止出现3-m2=1的错误。

    解得m=-2

    例3.(补充)已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5

    (1) 求y与x的函数关系式

    (2) 当x=-2时,求函数y的值

    分析:此题函数y是由y1和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答,先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式,再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同,故不能都设为k,要用不同的字母表示。

    略解:设y1=k1x(k1≠0),y2?

    k2=2,则y?2x?k2k(k2≠0),则y?k1x?2,代入数值求得k1=2, xx2,当x=-2时,y=-5 x

    五、随堂练习

    1.苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为

    2.若函数y?(3?m)x8?m是反比例函数,则m的取值是3.矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为

    4.已知y与x成反比例,且当x=-2时,y=3,则y与x之间的函数关系式是, 当x=-3时,y=

    5.函数y??21中自变量x的取值范围是x?2

    六、课后练习

    已知函数y=y1+y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=0;当x=4时,y=9,求当x=-1时y的值

    答案:y=4

    17.1.2反比例函数的图象和性质(1)

    一、教学目标

    1.会用描点法画反比例函数的图象

    2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质

    3.体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法

    二、重点、难点

    1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质

    2.难点:正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质

    3.难点的突破方法:

    画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤,即:列表、描点、连线,其中列表取值很关键。反比例函数y?k(k≠0)自变量的取值范围是x≠0,所以x

    取值时应对称式地选取正数和负数各一半,并且互为相反数,通常取的数值越多,画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。教学时,老师要带着学生一起画,注意引导,及时纠错。

    在探究反比例函数的性质时,可结合正比例函数y=kx(k≠0)的图象和性质,来帮助学生观察、分析及归纳,通过对比,能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下,反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的;反之,双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号,注意让学生体会数形结合的思想方法。

    四、课堂引入

    提出问题:

    1.一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?其性质有哪些?正比例函数y=kx(k≠0)呢?

    2.画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意什么?

    3.反比例函数的图象是什么样呢?

    五、例习题分析

    例2.见教材P48,用描点法画图,注意强调:

    (1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值

    (2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确

    (3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线

    (4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴

    例1.(补充)已知反比例函数y?(m?1)x

    指出在每个象限内y随x的变化情况?

    分析:此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即y?kx(k≠0)自变量x的指数是-1,二是根据反比例函数的性质:当图象位于第二、四象限时,k<0,则m-1<0,不要忽视这个条件

    略解:∵y?(m?1)xm2m2?3的图象在第二、四象限,求m值,并?1?3是反比例函数 ∴m2-3=-1,且m-1≠0

    又∵图象在第二、四象限∴m-1<0 解得m??2且m<1则m??2

    例2.(补充)如图,过反比例函数y?1(x>0)的图x

    象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,

    连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2,比

    较它们的大小,可得()

    (A)S1>S2 (B)S1=S2

    (C)S1<S2 (D)大小关系不能确定 k(k≠0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段,x

    1与x轴、y轴所围成的矩形面积S?xy?k,由此可得S1=S2 = ,故选B 2分析:从反比例函数y?

    五、随堂练习

    1.已知反比例函数y?3?k,分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x

    (1)函数图象位于第一、三象限

    (2)在第二象限内,y随x的增大而增大

    2.函数y=-ax+a与y?

    ?a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )

    x

    3.在平面直角坐标系内,过反比例函数y?k(k>0)的图象上的一点分别作x轴、x

    y轴的垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为

    七、课后练习

    1.若函数y?(2m?1)x与y?

    2.反比例函数y??3?m的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是 x2,当x=-2时,y=当x<-2时;y的取值范围是; x

    a2?6当x>-2时;y的取值范围是3. 已知反比例函数y?(a?2)x

    求函数关系式

    答案:3.a??5,y?

    ,当x?0时,y随x的增大而增大, ?5?2 x

    17.1.2反比例函数的图象和性质(2)

    一、教学目标

    1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质

    2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

    3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法

    二、重点、难点

    1.重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题

    2.难点:学会从图象上分析、解决问题

    3.难点的突破方法:

    在前一节的基础上,可适当增加一些较综合的题目,帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质,要让学生学会如何通过函数图象分析解析式,或由函数解析式分析图象的方法,以便更好的理解数形结合的思想,最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。

    三、课堂引入

    复习上节课所学的内容

    1.什么是反比例函数?

    2.反比例函数的图象是什么?有什么性质?

    四、例习题分析

    例3.见教材P51 分析:反比例函数y?k的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号,因此x

    要先求常数k,而题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立,所以用待定系数法能求出k,这样解析式也就确定了。

    例4.见教材P52

    例1.(补充)若点A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函数y?k(kx<0)图象上,则a、b、c的大小关系怎样?

    分析:由k<0可知,双曲线位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大,因为A、B在第二象限,且-1>-2,故b>a>0;又C在第四象限,则c<0,所以 b>a>0>c

    说明:由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函数y随x的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象限内”,否则,笼统说k<0时y随x的增大而增大,就会误认为3最大,则c最大,出现错误。

    此题还可以画草图,比较a、b、c的大小,利用图象直观易懂,不易出错,应学会使用。 例2. (补充)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y?

    A(-2,1)、B(1,n)两点

    (1)求反比例函数和一次函数的解析式

    (2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取

    值范围

    分析:因为A点在反比例函数的图象上,可先求出反比例函数的解析式y??m的图象交于x2,又B点在反比例函数的图象上,代入即可求出x

    n的值,最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y=-x-1,

    第(2)问根据图象可得x的取值范围x<-2或0<x<1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时,就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。

    五、随堂练习

    篇二:反比例函数教案

    9.1 反比例函数

    【教学目标】

    知识与能力:(1)理解反比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否是函

    数关系,进而识别反比例函数;

    (2)能根据已知条件确定反比例函数的表达式;

    过程与方法:经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程,体会反比例函数

    来源于实际问题。

    情感、态度与价值观:(1)经历反比例函数的形成过程,使学生体会到函数是描

    述变量间对应关系的重要数学模型。

    (2)通过学习反比例函数,培养学生合作交流和探索的能

    力。

    【教学重难点】

    重点:根据已知条件确定反比例函数的表达式.

    难点:理解反比例函数的意义.

    【教学过程】

    一、创设情境,引入新课

    同学们,你们还记得在小学里学过的,两个变量满足什么条件时成反比例关系吗?你能写出下列例子中的等式吗?

    1.当路程 s 一定时,时间 t 与速度 v 的关系

    2.当矩形面积 S一定时,长 a 与宽 b 的关系

    3.当三角形面积 S 一定时,三角形的底边 y 与高 x的关系

    学生通过回忆已学知识回答:如果两个量x和y满足xy=k(k为常数, k ≠0)那么x、y就成反比例关系.

    现在我们来看生活中的例子。

    活动一 汽车从南京出发开往上海(全程约300km),全程所用的时间t(h)随着速度v(km/h)的变化而变化。

    (1)你能用含v的代数式表示t吗?

    (2)利用(1)的关系式完成下表:

    随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化?

    (3)时间t是速度v的函数吗?

    (4)时间t是速度v的一次函数吗?是正比例函数吗?

    引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念,引出新知:反比例函数.

    二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式

    活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系:

    1.一个面积是6400m2的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化,则a与b的关系式为_____.

    2.京沪线铁路全程为1463 km,某列车平均速度为v(km/h),全程运行时间为 t(h),则v与t的关系式为_____

    3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为(原文来自:wWW.hnboxu.Com 博旭 范文网:反比例函数教案)_____

    4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为_____

    【讨论、交流】

    1. 函数关系式a?6400146316200 、 v?、 y?、 m??具有什么共同特征? xbtn

    2它们与正比例函数关系式有什么不同?

    3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗?

    结论:反比例函数的定义:

    一般的,形如(k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数。

    注:(1)有时反比例函数也写成y=kx?1或k=xy的形式.

    (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

    补充说明y?k1?k?kx?1,帮助学生理解. xx

    三、例题讲解

    例1.下列关系式中y是x的反比例函数吗?如果是,比例系数k是多少?

    (1) y= 41;(2)y?? ;(3)y?1?x;(4)xy?1; x2x

    练习 下列关系式中y是x的反比例函数的是:

    (1)y?2x?1 (2)y?

    (4

    )y?23 (3)y? 5xx?1211?1 (5)y? (6)y?x3xx

    2例2.若函数 y?(m?2)xm?5是反比例函数,求出m的值并写出解析式.

    例3.若y与x成反比例,且x=-3时,y=7,则求y与x的函数关系式。

    四、挑战自我

    1.某住宅小区要种植一个面积为1000 m2 的矩形草坪,草坪长为 y m,宽为 x m,则 y关于 x 的关系式为______;

    2.当a=时,函数y?(a?1)xa

    五、拓展应用:

    已知y+2与x?1成反比例,且当x=2时,y=-5,求y与x间的函数关系式,并求出当x=5时,y的值。

    六、课堂小结

    本节课你有什么收获? 2?2是反比例函数。

    篇三:反比例函数教案

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